kalkulus ~ bilangan real dan pertidaksamaan

Assalamualaikum Wr. Wb. 

halo....kembali lagi dengan saya

sekarang saya akan membahas pelajaran kalkulus tentang bilangan real dan pertidaksamaan, semoga bermanfaat yaa.....

Bilangan Real dan Pertidaksamaan

*Bilangan Real

Bilangan real adalah himpunan bilangan rasional dan bilangan irrasional. Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan bulat positif, bulat negatif, nol dan pecahan (), dimana a dan b adalah bilangan bulat. Bilangan rasional disebut pula dengan bilangan desimal berulang.

 sebagai contoh seperti ilustrasi berikut ini:

 = 0,428571 428571 428571

Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk (), dimana a dan b bilangan bulat. Bilangan irrasional disebut juga dengan bilangan desimal tak berulang.

Contoh bilangan irrasional :

Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagain pengenal (label) untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar. Garis mendatar ini dikenal dengan garis bilangan real. Bilangan real ini disebut dengan koordinat titik, dan garis yang dihasilkan disebut dengan bilangan real.

Seperti terlihat pada gambar berikut :

                                                   

 R

*Hukum-Hukum Bilangan Real

Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan ril mematuhi hukum-hukumseperti yang disebutkan berikut ini :Jika a dan b adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku :

( i ) a + b hukum penjumlahan

( ii ) a . b hukum perkalian

( iii ) a + b = b + a hukum komutatif penjumlahan

( iv) a . b = b .a hukum komutatif perkalianJika a, b dan c     adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku :

( v ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) hukum asosiatif penjumlahan

( vi ) ( ab ) c = a ( bc) hukum asosiatif perkalian

( vii ) a ( b + c ) = ab + ac hukum distributif 

( viii )a + 0 = 0 + a = a hukum penjumlahan nol

( ix ) a . 1 = 1 . a = a hukum perkalian satu

( x ) a . 0 = 0 . a = 0 hukum perkalian nol

( xi ) a + ( - a ) = -a + a hukum invers penjumlahan

( xii ) a . ( 1/a ) = 1 , a ≠1 hukum invers perkalian

*Sifat-Sifat Medan Bilangan Real

1.    Trikotonomi : jika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikut ini berlaku : x < y atau y = x atau x > y.

2.    Transitif : jika x < y dan y <z maka x < z.

3.  Penambahan : x < y  x + z < y + z.

4.  Perkalian bilangan z positif, x < y  x.y < y.z .

bilangan z negatif, X < y  x.z > y.z .

sifat-sifat diatas berlaku juga untuk relasi, ≤ atau ≥. Relasi urutan ≤ (dibaca “kurang dari atau sama dengan”). Relasi urutan ini didefinisikan oleh, x ≤ y  y – x positif atau nol.

*Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari unsur bilangan real dan imajiner.Bentuk umum bilangan kompleks adalah z = a + ib. Komponen a disebut bagian ril danditulis Re(z) dan b adalah bagian imajiner dan ditulis Im(z). Bilangan a dan b adalahbilangan-bilangan ril sedangkan i adalah bilangan imajiner yang besarnya adalah

Karena i = , maka :

 = .  = -1

 =  . i = -i

 =  .  = 1, dan seterusnya.

*Sifat-sifat bilangan kompleks

Misal  =  +  dan  =  + , maka berlaku :

a)    =    =  dan  =                sifat kesamaan

b)   +  = (  +  ) + i( + )               sifat penjumlahan

c)    -  = (  -  ) + i( - )                 sifat pengurangan

d)   .  = (  .  ) + i( . )                  sifat perkalian

*Konjugat

Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy, maka konjugat bilangan kompleks tersebut adalah z = x + iy. Jika bilangan kompleks berbentuk z = x – iy, maka konjugatnya adalah z = x + iy. Bila kita bandingkan kedua bilangan kompleks diatas dengan konjugatnya maka perbedaannya terletak pada komponen imajinernya. Jika komponen imajiner pada suatu bilanga kompleks adalah +iy maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah –iy. Jika komponen imajiner pada bilangan kompleks adalah –iy, maka komponen imajiner pada konjugatnya adalah +iy. Sedangkan komponen ril baik pada bilangan kompleks maupun pada konjugatnya adalah sama. Selain ditulis dalam bentuk z

, konjugat suatu bilangan kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z*.

*Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya

Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugatnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

 Jika terdapat suatu bilangan kompleks z = x + iy maka konjugatnya adalah z = x – iy. Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah : zz = (x + iy)( x – iy) =  - ixy + ixy -  =  +  

Dari hasil perkalian diatas kita dapat menyimpulkan bahwa perkalian bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan bilangan real.

*Pembagian dua buah bilangan kompleks

Untuk melakukan operasi pembagian dua buah bilangan kompleks pertama-tama kita kalikan pembilang dan penyebutnya ( dalam hal ini  dan  ) dengan konjugat .

Sehingga di dapat :

 =  =    =

Jadi,  =   i

Contoh: Diketahui 2 buah besaran dituliskan dengan menggunakan bilangan kompleks yaitu A = (4 + j5)Ω dan B = (3 - j2)Ω. maka berapakah hasil dari A +B, A -B, A.B,dan A/B ?
Jawab :
a. A + B :

b. A - B :

c. A . B :

d. A/B :

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa 2 kuantitas tidak setara nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung suatu perubah atau yang lebih dihubungakan oleh tanda-tanda ketidaksamaan yaitu <, >, ≤, ≥.

*Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1.    tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2.    tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3.    tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4.    tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

*Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1

Penyelesaian:

Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan

Contoh:

*Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2

Penyelesaian:

1.    Ruas kanan dibuat menjadi nol

2.    Faktorkan

3.    Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol

4.    Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5.    Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

6.    Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:

(2x – 1)² ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7

4x² – 4x + 1 ≥ 5x² – 5x – 3x + 3 – 7

4x² – 4x + 1 – 5x² + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x² + 4x + 5 ≥ 0

–(x² – 4x – 5) ≥ 0

–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

• menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
• karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

*Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2

Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat

Contoh:

(2x + 1)².(x² – 5x + 6) < 0

(2x + 1)².(x – 2).(x – 3) < 0

Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3

Garis bilangan:

• menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan <
• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif
• karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2 merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif
• selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling
• karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

*Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut

Penyelesaian:

1.    Ruas kanan dijadikan nol

2.    Samakan penyebut di ruas kiri

3.    Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)

4.    Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)

5.    Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

6.    Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0

–5x = –20 → x = 4

Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3

Garis bilangan:

→ x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4}

Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

x = 2 atau x = –1

Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:

D = b² – 4.a.c = 1² – 4.1.1 = 1 – 4 = –3

Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real

(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

*Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar

Penyelesaian:

1.    Kuadratkan kedua ruas

2.    Jadikan ruas kanan sama dengan nol

3.    Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat

4.    Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas:

x² – 5x – 6 < x² – 3x + 2

x² – 5x – 6 – x² + 3x – 2 < 0

–2x – 8 < 0

Semua dikali –1:

2x + 8 > 0

2x > –8

x > –4

Syarat 1:

x² – 5x – 6 ≥ 0

(x – 6).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0

x = 6 atau x = –1

Syarat 2:

x² – 3x + 2 ≥ 0

(x – 2).(x – 1) ≥ 0

Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0

x = 2 atau x = 1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6}

Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas:

x² – 6x + 8 < x² – 4x + 4

x² – 6x + 8 – x² + 4x – 4 < 0

–2x + 4 < 0

–2x < –4

Semua dikalikan –1

2x > 4

x > 2

Syarat:

x² – 6x + 8 ≥ 0

(x – 4).(x – 2) ≥ 0

Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0

x = 4 atau x = 2

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. |

(tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3)

Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian:

Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0

Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0

Contoh 1:

|2x – 3| ≤ 5

berarti:

–5 ≤ 2x – 3 ≤ 5

–5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3

–2 ≤ 2x ≤ 8

Semua dibagi 2:

–1 ≤ x ≤ 4

Contoh 2:

|3x + 7| > 2

berarti:

3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2

3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7

x < –3 atau x > –5/3

Contoh 3:

|2x – 5| < |x + 4|

Kedua ruas dikuadratkan:

(2x – 5)² < (x + 4)²

(2x – 5)² – (x + 4)² < 0

(2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0    (Ingat! a² – b² = (a + b).(a – b))

(3x – 1).(x – 9) < 0

Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0

x = 1/3 atau x = 9

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4}

Contoh 4:

|4x – 3| ≥ x + 1

Kedua ruas dikuadratkan:

(4x – 3)² ≥ (x + 1)²

(4x – 3)² – (x + 1)² ≥ 0

(4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0

(5x – 2).(3x – 4) ≥ 0

Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0

x = 2/5 atau x = 4/3

Syarat:

x + 1 ≥ 0

x ≥ –1

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3}

Contoh 5:

|x – 2|² – |x – 2| < 2

Misalkan |x – 2| = y

y² – y < 2

y² – y – 2 < 0

(y – 2).(y + 1) < 0

Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0

y = 2 atau y = –1

Garis bilangan:

Artinya:

–1 < y < 2

–1 < |x – 2| < 2

Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku

|x – 2| < 2

Sehingga:

–2 < x – 2 < 2

–2 + 2 < x < 2 + 2

0 < x < 4

Demikianlah pembahasan tentang bilang real dan pertidaksamaan,dilengkapi dengan contohnya masing-masing. Semoga dapat membantu kalian ya…

Ketemu di blog selanjutnya...see you