Assalamualaikum Wr. Wb.
Halo kembali lagi dengan ssya ...
sekarang,saya akan membahas mata kuliah kalkulus tentang materi fungsi turunan implisit dan ekponen. semoga bermanfaat yaa.....
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
Misalkan tentukanlah turunan dari
· Fs Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka = 2x + 2
· Fs Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y = -4x + 1 sehingga
Misalkan bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0 maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah bentuknya menjadi
Differensial Parsial dan Differensial Total
Definisi : dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1. = turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap konstan(y dianggap konstan)
2. = turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap konstan(x dianggap konstan)
3. df = dx + dy
dan disebut Differensial Parsial
df = dx + dy disebut Differensial Total
Turunan Pertama Fungsi f(x, y) = 0 maka df = dx + dy = 0 berarti
Turunan Kedua dirumuskan :
Cara menyelesaikan soal bentuk Differensial Total
1. Cara I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) = 4x2y + 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari dan sehingga didapat :
= 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya adalah
df (x, y) = dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2 + 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
df(x , y) = d(0)
dx + dy = 0
dy = dx sehingga
2. Cara II
- Masing – masing diturunkan terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)
- Nyatakan dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2 + y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan = 2y jadi maka =
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2 + y2) = (100) dimana y fungsi x
(y2) = (y2) .
= 2y
2x + 2y = 0
2y = - 2x
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1. (alog x) =
2. (ln x) =
3. (ax) = ax ln a
4. (ex) = ex
Contoh 1 : Tentukanlah turunan pertama dari y = arc +
Jawab :
y = arc +
= +
= -
= -
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari y = arc tan tan3 x2y3
Jawab :
y = arc tan tan3 x2y3
y = arc tan U = dimana U = tan3 x2y3 = (tan x2y3)3 = V3 dimana V = tanx2y3
V = tan W dimana W = x2y3
= . . .
=
=
=
=
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
Jawab :
arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
. (1 . y + x . 1 . ) + = (1 . y + x . 1.)
+ . - - .= y + x .
(-- x ) = - + + y
=
Contoh 4 : Tentukanlah turunan pertama dari
Jawab :
fungsi di atas dapat diselesaikan dengan f(x) = Þ f’(x) = maka
⟺
⟺- = 0
⟺ -
⟺ -
⟺ - =
⟺ =
⟺ =
Contoh 5 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Contoh 6 : Tentukanlah turunan pertama dari y = 33x – 44x-1
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Jawaban Contoh 5 :
y =
y = U3 dengan U =
U = ln V dengan V =
= 3U2 . . + x3 . .
= 3 ln2 x3.. ( + x3 . . )
=
=
Jawaban Contoh 6 :
y = 33x – 44x-1
=
Kita cari satu persatu terlebih dahulu sehingga didapat :
sehingga y’ = 3U dimana U = 3x
= 3U ln 3 . 3 = 33x ln 3 . 3 = 33x+1 ln 3
sehingga y’ = 4U dimana U = 4x – 1
= 4U ln 4 . 4 = 44x-1 ln 4 . 4 = 44x-1+1 ln 4 = 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah
=
= 33x ln 3 . 31 – 44x-1 ln 4 . 41
= 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Catatan :
1. Y = xn ⟶ y’ = n.xn-1
2. Y = ax ⟶ y’ = ax ln a
3. Y = f(x)g(x) ⟶ y’ = ... ?
Penurunan Fungsi Secara Logaritmis
Y = f(x)g(x)
Contoh : Tentukan turunan pertama dari y = sin xcos x ?
Jawab :
ln y = ln sin xcos x
ln y = cos x . ln sin x ⟹ ingat bahwa turunan dari u.v = u’v + uv’
= - sin x . ln sin x + cos x . . cos x
= y (- sin x . ln sin x + )
= sin xcos x (- sin x . ln sin x + )
Tidak ada komentar:
Posting Komentar