Assalamualaikum Wr. Wb.
halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang invers matriks, semoga bermanfaat yaa.....
halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang invers matriks, semoga bermanfaat yaa.....
Invers Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku 
maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis 
.
Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non
singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks
singular.
maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis .
Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non
singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks
singular.
Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika
dengan 
, maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:
Penyelesaian :
Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.
Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1 . Dengan demikian, berlaku :
AA–1 = A–1A = I
Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.
Dari persamaan A × B = I, diperoleh :
Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?
Jadi, jika A =
maka inversnya adalah :
a. A =
a. Dengan Adjoin
Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :
Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.
 "This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.")
Jawaban :
Terlebih dahulu kita hitung determinan A.
Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :
b. Dengan Transformasi Baris Elementer dan perkalian invers Matriks Elementer
Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.
1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitas ordo n.
*perkalian matriks elementer
Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :
Penyelesaian :
c.partisi matriks
> partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang lebih kecil dengan memasukkan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.
> partisi matriks digunakan sebagai penyederhana matriks yang ukurannya besar menjadi lebih kecil sehingga mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.
sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....
Waalamualaikum Wr.Wb.
Jika
dengan , maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:
Jika 
maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.
maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.
Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:
%5E%7B-1%7D+%3D+B%5E%7B-1%7D+%5Ccdot+A%5E%7B-1%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}")
%5E%7B-1%7D+%3D+A%5E%7B-1%7D+%5Ccdot+B%5E%7B-1%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}")
%5Et+%3D(A%5E%7Bt%7D)%5E%7B-1%7D&bg=T&fg=000000&s=0 "(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}")
Contoh: Diketahui A = 
dan B = 
Selidiki, apakah A dan B saling invers?
Penyelesaian :
Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.
A × B = 
B × A = 
Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A–1 = B dan B–1 = A.
Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2
Misalkan diketahui matriks A = , dengan ad – bc ≠ 0.
Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A–1 . Dengan demikian, berlaku :
AA–1 = A–1A = I
Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.
Misalkan matriks A = dan matriks B = 
sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.
Dari persamaan A × B = I, diperoleh :
Jadi, diperoleh sistem persamaan :
ap + br = 1 dan aq + bs = 0
cp + dr = 0 cq + ds = 1
Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :
Dengan demikian,
Matriks B memenuhi A × B = I.
Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?
Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = 
= I
Karena A × B = B × A = I maka B = A–1.
Jadi, jika A =
untuk ad – bc ≠ 0.
Contoh Soal 18 :
Tentukan invers matriks-matriks berikut.
Tentukan invers matriks-matriks berikut.
a. A =
b. B = 
Jawaban:
Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)
Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada
pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi
baris elementer.
a. Dengan Adjoin
Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :
adj(A) = (kof(A))T
Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.
Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.
Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.
Contoh Soal 19 :
Diketahui matriks A = 
. Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.
Jawaban :
Terlebih dahulu kita hitung determinan A.
det A = 
= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2
Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :
adj(A) = 
Jadi, A–1 dapat dihitung sebagai berikut.
b. Dengan Transformasi Baris Elementer dan perkalian invers Matriks Elementer
Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.
1) Bentuklah matriks (An | In), dengan In adalah matriks identitas ordo n.
2) Transformasikan matriks (An | In) ke bentuk (In | Bn), dengan transformasi elemen baris.
3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn.
*operasi elementer baris
*operasi elementer baris
*perkalian matriks elementer
Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :
a) Bi ↔ Bj : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;
b) k.Bi : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;
c) Bi + kBj : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.
Contoh Soal 20 :
Tentukan invers matriks A = 
dengan transformasi baris elementer.
Penyelesaian :
Jadi, diperoleh A–1 = 
Keterangan :
1/2 B1 : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.
B2 – 5B1 : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.
B1 – B2 : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.
2B2 : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.
Contoh Soal 21 :
Tentukan invers matriks A = 
dengan transformasi baris elementer.
Jawaban :
c.partisi matriks
> partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang lebih kecil dengan memasukkan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.
> partisi matriks digunakan sebagai penyederhana matriks yang ukurannya besar menjadi lebih kecil sehingga mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.
sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....
Waalamualaikum Wr.Wb.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar