Assalamualaikum Wr. Wb.
halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang transformasi linier, semoga bermanfaat yaa.....
halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang transformasi linier, semoga bermanfaat yaa.....
Nilai Eigen dan
Vektor Eigen
Andaikan
A marik bujur sangkar
berordo
nxn, vektor taknol x
di dalam Rn
dikatakan
vektor eigen A, jika tedapat
skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,
Ax
= lx
ldisebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.
Contoh :
Vektor x
= [1,2] adalah vektor eigen dari :
yang bersesuaian dengan nilai eigen, l = 3, karena :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung
nilai
eigen matrik A
yang berorodo
nxn tulislah
Ax
= lx
sebagai,
Ax
= lIx
(lI – A)x = 0
Agar supaya l
menjadi
nilai
eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya
adalah :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan
terakhir
adalah polinomial
l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :
(1)Bentuk matrik (lI – A)
(2)Hitung determinan,
det(lI – A)=0
(3)Tentukan
persamaan
karakteristik dari, (lI – A) = 0
(4)Hitung akar-akar
persamaan
karakteristik (nilai lamda)
(5)Hitung vektor eigen dari SPL,
(lI
– A)x=0
Contoh
Carilah
nilai
eigen dan vektor
eigen dari, A =
Jawab
Bentuk, lI – A yaitu : (lI
– A) =
Persamaan
karakteristiknya adalah :
det(lI
– A) = l2 – 2l
– 8 = 0
Akar-akar
persamaan
karakteristiknya adalah : l1 = 4, dan l2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.
Vektor
eigen x dari A diperoleh dari : (lI
– A)x
= 0
Untuk l = 4, diperoleh SPL
Solusi SPL diatas adalah :
Jadi vektor
eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian
dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].
Contoh
Carilah
nilai
eigen dan vektor
eigen dari, A =
Jawab
Bentuk, lI – A yaitu : (lI
– A) =
Persamaan
karakteristiknya adalah :
det(lI
– A) = l3 – 6l2 + 11l
– 6 = 0
Akar-akar
persamaan
karakteristiknya adalah : l1 = 1, l2 = 2, dan l3 = 3
Vektor
eigen x dari A diperoleh dari :
(lI
– A)x=0
Untuk l = 1, diperoleh SPL
Solusi SPL diatas adalah :
Jadi vektor
eigen yang bersesuaian
dengan :
l = 1 adalah x = [1,1,1] ;
l = 2 adalah x = [2,3,3] ;
l = 3 adalah x = [1,3,4].
Diagonalisasi
Matrik bujur sangkar
A dikatakan
dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP
adalah matrik
diagonal. Matrik P dikatakan
mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn,
(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn]
dan hitunglah
P–1
(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, l1,
l2, … ,ln
contoh :
Vektor
eigen dan nilai eigennya
:
l = 1 adalah x = [1,1,1] ;
l = 2 adalah x = [2,3,3] ;
l = 3 adalah x = [1,3,4].
D = P–1AP
=
Contoh
Carilah
nilai
eigen, vektor
eigen dan matrik P
yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana
Jawab
Menentukan
nilai
eigen A dan vektor
eigen. Persamaan
karakteristik A diperoleh dari :
det(lI
– A) = 0 ==>
Persamaan
karakteristiknya adalah : l3 – 12l2 + 45l
– 54 = 0. dan akar-akarnya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = 6. Vektor eigen
x
dari A diperoleh
dari : (lI – A)x = 0
Untuk l = 3, SPL-nya
Solusi SPL-nya adalah :
Vektor
eigen :
p1 = [–2 ,1,0]
p2 = [–2 ,0,1]
Untuk l = 6, SPL-nya
Solusi SPL-nya adalah :
Vektor
eigen
p3 = [–1,1,1]
Matrik P
yang mendiagonalisasi A adalah :
P = [p1 p2 p3] = ==>
matriks diagonal,
D = P–1AP
=
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar
A dikatakan
dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP
(=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan
berikut
ekivalen
yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas
linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk
basis ortonormal,
dari vektor
basis pada langkah
(1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]
Contoh
Carilah
matrik P
yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana
Jawab
Menentukan
nilai
eigen dan vktor
eigen A. Persamaan
karakteristik A diperoleh dari :
det(lI
– A) = 0
Persamaan
karakteristiknya adalah : l3 – 3l2 – 9l
+ 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = –3.
Vektor
eigen x dari A diperoleh dari : (lI
– A)x
= 0
Untuk l = 3, SPL-nya
Solusi SPL-nya adalah :
Vektor
eigen
x1 = [1,1,0]
x2 = [–2 ,0,1]
Untuk l = 6, SPL-nya
Solusi SPL-nya adalah :
Vektor Eigen
x3 = [1,–1,2]
Menentukan
P = [p1 p2 p3]
Menghitung
p1
Menghitung p2
p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1
[x2,p1] =
[x2,p1]p1 =
v2 = x2 – [x2,p1]p1 = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]
Menghitung
p3
p3 = v3/|v3|, dengan :
v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2
[x3,p1] =
[x3,p1]p1 = [0,0,0]
[x3,p2] =
[x3,p2]p2 = [0,0,0]
Dengan demikian,
P = [p1 p2 p3]
=
Sehingga, v3
= x3 =
[1,–1,2]
sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....
Waalamualaikum Wr.Wb.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....
Waalamualaikum Wr.Wb.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar