Aljabar Linier~ Transformasi Linier

 Assalamualaikum Wr. Wb.

halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang transformasi linier, semoga bermanfaat yaa.....

TRANSFORMASI LINIER

Andaikan F:V®W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W. F dikatakan transformasi linier, jika :

(i). F(u+v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di V

(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di V dan sembarang skalar k.

Contoh :

Misalkan,v=[x,y], dan T:R2®R2 adalah fungsi ynag didefinisikan oleh :

T(v) = [x–y,x+y]. Buktikanla T adalah transformasi linier.

Jawab.

Ambil, u=[x1,y1], v=[x2,y2], maka u+v=[x1+x2,y1+y2], ku=[kx1,ky1]. Sehingga

T(u+v) =T[(x1+x2,y1+y2)] = [(x1+x2) – (y1+y2),(x1+x2)+(y1+y2)]

            = [(x1–y1)+(x2–y2),(x1+y1)+(x2+y2)]

            = [(x1–y1),(x1+y1)] + [(x2–y2),(x2+y2)] = T(u) + T(v)

 T(ku) = T[kx1,ky1] = [(kx1– ky1),(kx1+ky1)]

           = [k(x1–y1),k(x1+y1)] = k[(x1–y1),(x1+y1)] = kT(u)

Menghitung Rumus T(x)

Misalkan S={u1,u2,…,un} adalah sebuah basis untuk ruang vektor V, dan T:V®W adalah transformasi linier. Andaikan pula, T(u1), T(u2),…,T(un) adalah bayangan dari vektor basis S. Karena setiap vektor x di ruang vektor V dapat dituliskan menjadi,

x = k1u1 + k2u2 + … + knun

maka rumus transformasi linier semarang vektor x diberikan oleh :

 

T(x) = k1T(u1) + k2 T(u2) + … + kn T(un)

Contoh :

Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dimana u1=[1,1,1], u2=[1,0,1] dan u3=[1,2,2], dan T:R3®R2 transformasi linier. Andaikan T(u1)=[1,–1], T(u2)=[–1,2], danT(u3)=[2,1]. Carilah rumus T(x) dan hitunglah T([2,1,–1]).

Jawab

Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :

k1[1,1,1] + k2[1,0,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor diperoleh sistem persamaan linier :

k1 + k2 + k3 = x1

k1 +      2k3 = x2

k1 + k2 + 2k3 = x3

==>  

dengan demikian, 

[x1,x2,x3] = (2x1+x2–2x3)u1 + (–x2+x3)u2 + (–x1+x3)u3

Jadi, T([x1,x2,x3]) = (2x1+x2–2x3)T(u1) + (–x2+x3)T(u2) + (–x1+x3)T(u3)

T(x) = (2x1+x2–2x3)[1,–1] + (–x2+x3)[–1,2] + (–x1+x3)[2,1] 

= [(2x2–x3),(–3x1– 3x2+ 5x3)]

Dalam bentuk perkalian matrik diberikan oleh :

 

T(x) = [T(u1)T(u2)T(u3)][x]S

 

Geometri Transformasi Linier : T(x) = Ax

Rotasi :

 

Refleksi terhadap sumbu y

 

Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi terhadap garis y = x

 

Ekspansi dan kompresi searah sumbu x

 

Ekspansi dan kompresi searah sumbu y

 

Pergeseran dalam arah x dengan faktor k

 

Pergeseran dalam arah y dengan faktor k

 

Matrik Transformasi Linier

Andaikan T:V®W transformasi linier, S={u1,u2,…,un} basis untuk V dan B={v1,v2,…,vn} basis untuk W. Untuk setiap vektor x di V, matrik koordinat  [x]S adalah vektor di V, sedangkan matrik koordinat [T(x)]B adalah vektor di W. Hubungan antara matrik koordinat tersebut diberikan oleh :

                    A[x]S = [T(x)]B

dimana A disebut sebagai matrik T yang berkitan dengan basis S dan B. 

 

==>  

Dallam kasus khusus, T:V®V dan S=B, maka matrik A ditulis :

 

==>  

 

Menghitung T(x) secara tidak langsung

 

(1) Hitung [x]S or [x]B

(2) Hitung [T(x)]B= [T]S,B [x]S or [T]B[x]B

(3) Hitung T(x) dari [T(x)]B

Contoh

T:R3®R2 trnsformasi linier yang diberikan oleh :

Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2}.

 

u1=[1,1,1], u2=[1,1,0] dan u3=[1,2,3],dan v1=[1,–1], v2=[1,–2]

 

Jawab

Misalkan, x=[x1,x2,x3] vektor di R3 bentuk x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :

k1[1,1,1] + k2[1,1,0] + k3[1,2,3] = [x1,x2,x3]

atau :

k1 + k2 + k3 = x1

k1 + k2 + 2k3 = x2

k1 + 3k3 = x3

==> ==>

Misalkan, z=[z1,z2] vektor di R2 bentuk z = k1v1 + k2v2, atau :

k1[1,–1] + k2[1,–2] = [z1,z2] ==>

 

Menghitung [T]S,B

u1=[1,1,1]

 

u2=[1,1,0]

 

u3=[1,2,3]

 

Menghitung [T(x)]B

[T(x)]B = [T]S,B[x]S =

Misal, x0=[3,1,2], maka : T(x0) = [6 – 2 + 2, 3 + 2 – 4] = [6,1] 
 

[T(x0)]B =  

T(x0) =

 

Contoh

T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh :

 

Carilah matrik T dan [T(x)]B yang berkaitan dengan basis B={u1,u2,u3}, dimana :

u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]

Jawab

Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier : x = k1u1 + k2u2 + k3u3, atau :

k1[1,–1,1] + k2[0,1,1] + k3[1,1,2] = [x1,x2,x3]

 atau :

k1 + k3 = x1

–k1 + k2 + k3 = x2

k1 + k2 + 2k3 = x3

==> ==>

 

Menghitung [T]B 

u2=[1,–1,1]

Menghitung [T]B 

 

 

 

jadi,

 

 

Keserupaan

Misalkan T:V®V  transformasi linier pada ruang vektor V berdimensi berhingga. Jika, [T]S adalah matrik T untuk basis S, dan [T]B adalah matrik T terhadap basis B, maka :

 

 

dimana P adalah matrk transisi dari B ke S

Dengan teorema diatas diperoleh  [T(x)]B = [T]B[x]B sebagai berikut :

 

Langkah-langkah menghitung [T( x)]B  :

§ Hitung matrik koordinat, [x]S

§  Hitung matrik transisi P dan P–1

§ Hitung matrik koordinat [x]B dengan rumus

             [x]B = P–1[x]S

§ Hitung matrik T terhadap basis S, [T]S

§ Hitung matrik T terhadap basis B,

             [T]B = P–1 [T]SP

§ Hitung [T(x)]B = [T]B[x]B

Contoh

T:R3®R3 transformasi linier diberikan oleh :

S={v1,v2,v3} dan B={u1,u2,u3}, adalah basis-basis untuk R3 dimana :

 

v1=[2,2,1], v2=[1,1,1] dan v3=[1,2,2]

u1=[1,–1,1], u2=[0,1,1] dan u3=[1,1,2]

Hitunglah [x]S, dan matrik transformasi linier, [T(x)]B secara tidak langsung

Jawab

Menghitung, [x]B. Misalkan, x=[x1,x2,x3] sembarang vektor di R3 bentuk kombinasi linier : x = k1v1 + k2v2 + k3v3, atau :

 

         k1[2,2,1] + k2[1,1,1] + k3[1,2,2] = [x1,x2,x3]

atau,

2k1 + k2 + k3 = x1

2k1 + k2 + 2k3 = x2

k1 + k2 + 2k3 = x3

==> 

 Menghitung P dan P–1

Matrik transisi, P =[ [u1]S [u2]S [u3]S]

 

u1=[1,–1,1]  

 

u2=[0,1,1] 

 

u3=[1,1,2] 

 

 

Karena, det(P) = 1 , maka :

 

Menghitung [T]S = [ [T(v1)]S [T(v2)]S [T(v3)]S ]

 

 

 

 

 

 dengan demikian ,

 

Menghitung [x]B = P–1[x] 

[x]B = P–1[x]S =

Menghitung matrik T terhadap basis B, [T]B = P–1 [T]SP

[T]B = P–1 [T]SP =

[T]B = P–1 [T]SP =

dengan demikian,

[T(x)]B = [T]B[x]B =

Contoh

T:R3®R3 trnsformasi linier yang diberikan oleh : 

S={u1,u2,u3} dan B={v1,v2,v3}, adalah basis untuk R3 dimana :

u1=[a+1,b+2,a], u2=[a,b+1,a–1] ; u3=[b+1,a+1,b+2],

v1=[b+1,a+1,b], v2=[b,a,b–1],v3=[a+1,b+2,a+2],

(a)Hitung [T(x)]S dan [T(x)]B secara langsung

(b)Hitung [T(x)]S secara tidak langsung

(c)Hitung [T(x)]B secara tidak langsung

sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....





Waalamualaikum Wr.Wb.