Assalamualaikum Wr. Wb.Halo kembali lagi dengan ssya ...sekarang,saya akan membahas mata kuliah kalkulus tentang materi fungsi turunan implisit dan ekponen. semoga bermanfaat yaa.....
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Bentuk fungsi terbagi menjadi 2 yaitu fungsi eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi implisit f(x, y) = 0.
Misalkan tentukanlah turunan dari
· Fs Eksplisit ⟶ y = x2 + 2x maka = 2x + 2
· Fs Implisit ⟶2x2y + 4x – 1 = 0 maka 2x2y = -4x + 1 sehingga
Misalkan bentuk implisit x2y3 + 2xy2 – 3x + y – 1 = 0 maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka dirubah bentuknya menjadi
Differensial Parsial dan Differensial Total
Definisi : dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1. = turunan parsial di f terhadap x ; selain x dianggap konstan(y dianggap konstan)
2. = turunan parsial di f terhadap y ; selain y dianggap konstan(x dianggap konstan)
3. df = dx + dy
dan disebut Differensial Parsial
df = dx + dy disebut Differensial Total
Turunan Pertama Fungsi f(x, y) = 0 maka df = dx + dy = 0 berarti
Turunan Kedua dirumuskan :
Cara menyelesaikan soal bentuk Differensial Total
1. Cara I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) = 4x2y + 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari dan sehingga didapat :
= 8xy + 3y3 – 2 dan = 4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya adalah
df (x, y) = dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2 + 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
df(x , y) = d(0)
dx + dy = 0
dy = dx sehingga
2. Cara II
- Masing – masing diturunkan terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)
- Nyatakan dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2 + y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan = 2y jadi maka =
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2 + y2) = (100) dimana y fungsi x
(y2) = (y2) .
= 2y
2x + 2y = 0
2y = - 2x
TURUNAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1. (alog x) =
2. (ln x) =
3. (ax) = ax ln a
4. (ex) = ex
Contoh 1 : Tentukanlah turunan pertama dari y = arc +
Jawab :
y = arc +
= +
= -
= -
Contoh 2 : Tentukanlah turunan pertama dari y = arc tan tan3 x2y3
Jawab :
y = arc tan tan3 x2y3
y = arc tan U = dimana U = tan3 x2y3 = (tan x2y3)3 = V3 dimana V = tanx2y3
V = tan W dimana W = x2y3
= . . .
=
=
=
=
Contoh 3 : Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
Jawab :
arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
. (1 . y + x . 1 . ) + = (1 . y + x . 1.)
+ . - - .= y + x .
(-- x ) = - + + y
=
Contoh 4 : Tentukanlah turunan pertama dari
Jawab :
fungsi di atas dapat diselesaikan dengan f(x) = Þ f’(x) = maka
⟺
⟺- = 0
⟺ -
⟺ -
⟺ - =
⟺ =
⟺ =
Contoh 5 : Tentukanlah turunan pertama dari y =
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Contoh 6 : Tentukanlah turunan pertama dari y = 33x – 44x-1
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Jawaban Contoh 5 :
y =
y = U3 dengan U =
U = ln V dengan V =
= 3U2 . . + x3 . .
= 3 ln2 x3.. ( + x3 . . )
=
=
Jawaban Contoh 6 :
y = 33x – 44x-1
=
Kita cari satu persatu terlebih dahulu sehingga didapat :
sehingga y’ = 3U dimana U = 3x
= 3U ln 3 . 3 = 33x ln 3 . 3 = 33x+1 ln 3
sehingga y’ = 4U dimana U = 4x – 1
= 4U ln 4 . 4 = 44x-1 ln 4 . 4 = 44x-1+1 ln 4 = 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah
=
= 33x ln 3 . 31 – 44x-1 ln 4 . 41
= 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Catatan :
1. Y = xn ⟶ y’ = n.xn-1
2. Y = ax ⟶ y’ = ax ln a
3. Y = f(x)g(x) ⟶ y’ = ... ?
Penurunan Fungsi Secara Logaritmis
Y = f(x)g(x)
Contoh : Tentukan turunan pertama dari y = sin xcos x ?
Jawab :
ln y = ln sin xcos x
ln y = cos x . ln sin x ⟹ ingat bahwa turunan dari u.v = u’v + uv’
= - sin x . ln sin x + cos x . . cos x
= y (- sin x . ln sin x + )
= sin xcos x (- sin x . ln sin x + )
Demikian pembahasan tentang materi fungsi turunan implisit dan ekponen ,semoga bermanfaat.
ketemu di materi selanjutnya ya...