Selasa, 11 Juni 2019

kalkulus ~ turunan lanjutan


Assalamualaikum Wr. Wb.

Halo kembali lagi dengan ssya ...
sekarang,saya akan membahas mata kuliah kalkulus tentang materi turunan lanjutan. semoga bermanfaat yaa.....

Penggunaan Turunan Fungsi (Lanjutan Turunan Fungsi)

by 
Terdapat pada :
  • Persamaan garis singgung
  • Fungsi naik dan fungsi turun
  • menggambar grafik fungsi aljabar
  • Maksimum dan minimum fungsi
  • Teorema L’Hopital  (dibaca: Lopital)
  • Nilai stasioner
  • Titik belok
  • Kecepatan dan percepatan
Perhatikanlah tabel berikut!
\begin{array}{|c|c|l|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Turunan Pertama}}&\textrm{Turunan Kedua}\\\hline 1.&\textrm{\textrm{Gradien garis singgung}}&m={f}\, '(x)=\underset{h\rightarrow 0}{\textrm{Lim}}=\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&\textrm{Belok}\\\cline{1-3} 2.&\textrm{Fungsi naik dan turun}&y=f(x)\begin{cases} {f}'(x)> 0, & \text{ fungsi naik } \\ {f}'(x)< 0, & \text{ fungsi turun } \end{cases}&\textrm{Percepatan}\\\cline{1-3} 3.&\textrm{Jarak, kec, percepatan}&y=s(t)\begin{cases} s(t) & \text{ jarak} \\ {s}\, '(t) & \text{ kecepatan } \\ {s}\, ''(t) & \text{ percepatan} \end{cases}&\textrm{Maksimum}\\\cline{1-3} &&\begin{aligned}\textrm{Maksimum}:&\\ \rightarrow {f}&\, ''(k)< 0\\ \textrm{titik mak}&\: \left ( k, f(k)\right ) \end{aligned}&\textrm{Minimum}\\\cline{3-3} 4.&\textrm{Stasioner}&\begin{aligned}\textrm{Minimum}:&\\ \rightarrow {f}&\, ''(k) > 0\\ \textrm{titik min}&\: \left ( k, f(k)\right ) \end{aligned}&\\\cline{3-3} &{f}\, '(x)=0\rightarrow x=k&\begin{aligned}\textrm{Belok}:&\\ \rightarrow {f}&\, ''(k)= 0\\ \textrm{titik belok}&\: \left ( k, f(k)\right ) \end{aligned}&\\\cline{1-3} 5.&\begin{aligned}&\textrm{Limit fungsi}\\ &\textrm{bentuk tak tentu} \end{aligned}&\begin{aligned}&\textrm{Aturan L'Hopital}\\ &\\ &\underset{x\rightarrow h}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow h}{\textrm{Lim}}\: \: \displaystyle \frac{{f}\, '(x)}{g\,'(x)}\\ &\\ &\textrm{untuk hasil limit}\\ &\textrm{bentuk}\: \: \frac{0}{0}\: \: \textrm{atau}\: \: \frac{\infty }{\infty }\end{aligned}&\\\hline \end{array}.
\LARGE\fbox{\LARGE\fbox{CONTOH SOAL}}.
\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tentukanlah persamaan garis singgung pada kurva}\: \: y=x^{2}+2x-8\: \: \textrm{di titik yang}\\ &\textrm{berabsis}\: \: 1 \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}&\\ \textrm{Diketahui},\: &\textrm{persamaan sebuah kurva adalah:}\\ &y=x^{2}+2x-8\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{Titik singgung}&\textrm{Gradien}\: ,\: x=1&\textrm{Persamaan garis singgung}\\\hline \begin{aligned}x=1\rightarrow y&=(1)^{2}+2(1)-8\\ &=1+2-8\\ &=-5\\ &\\ \textrm{di titik}&\: \: (a,b)=(1,-5)\end{aligned}&\begin{aligned}\displaystyle \frac{dy}{dx}=m&=2x+2\\ &=2(1)+2\\ &=4\\ &\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}y&=m(x-a)+b\\ &=4(x-1)+(-5)\\ &=4x-4-5\\ &=4x-9\\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{3}{|c|}{\begin{aligned}&\\ \textrm{Jadi},\: &\textrm{persamaan garis singgungnya adalah:}\\ &y=4x-9\Leftrightarrow y-4x+9=0\\ & \end{aligned}}\\\hline \end{array}.
Berikut ilustasi gambar dari persoalan di atas
\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tentukanlah interval di mana kurva fungsi}\: \: f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x+5\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{naik}\\ &\textrm{b}.\quad \textrm{turun} \end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|l|l|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\\ f(x)&=x^{3}+3x^{2}-9x+5\\ {f}\, '(x)&=3x^{2}+6x-9\\ &=3(x+3)(x-1)\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{naik}\: ;\: \: {f}\, '(x)> 0&\textrm{turun}\: ;\: \: {f}\, '(x)< 0\\\hline \begin{aligned}&\\ &3(x+3)(x-1)> 0\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ &3(x+3)(x-1) < 0\\ & \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{array}{ll|lll|lll}\\ &\multicolumn{3}{c}{.}&\multicolumn{3}{c}{.}&\\\cline{1-2}\cline{6-7} +&+&-&-&-&+&+&\\ &&&&&&\\\hline &\multicolumn{2}{l}{-3}&&\multicolumn{2}{c}{1}&&\\ \end{array} }\\\hline \begin{aligned}&\\ \textrm{naik}\: ,&\: x< -3\: \: \textrm{atau}\: \: x> 1\\ & \end{aligned}&\begin{aligned}&\\ \textrm{turun}\: ,&\: -3< x< 1\\ & \end{aligned}\\\hline \end{array}.
\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tentukanlah nilai stasioner fungsi}\: \: f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x+5 \: \: \textrm{dan tentukan pula jenisnya}.\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{aligned}&\\ f(x)&=x^{3}+3x^{2}-9x+5\\ {f}\, '(x)&=3x^{2}+6x-9\\ &=3(x+3)(x-1)\\ &\textrm{dan}\\ &\begin{array}{ll|lll|lll}\\ &\multicolumn{3}{c}{.}&\multicolumn{3}{c}{.}&\\\cline{1-2}\cline{6-7} +&+&-&-&-&+&+&\\ &&&&&&\\\hline &\multicolumn{2}{l}{-3}&&\multicolumn{2}{c}{1}&&\\ \end{array} \\ &\textrm{untuk nilai stasionernya} \\ f(-3)&=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3)+5=32&\rightarrow \left ( -3,32 \right )\: \textrm{adalah titik balik maksimum}\\ f(1)&=(1)^{3}+3(1)^{2}-9(1)+5=0&\rightarrow \left ( 1,0 \right )\: \textrm{adalah titik balik minimum} \end{aligned}.
Berikut ilustrasi gambar kurvanya baik untuk jawaban No. 2 maupun No. 3
\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Masih sama dengan soal seperti pada No. sebelumnya, yaitu fungsi}\: \: f(x)=x^3+3x^2-9x+5\: .\\ & \textrm{Tentukanlah koordinat titik beloknya}\end{array}\\\\\\ \textrm{Jawab}:\\\\ \begin{array}{|c|c|c|c|l|c|}\hline \multicolumn{6}{|c|}{\begin{aligned}&\\ f(x)&=x^3+3x^2-9x+5\\ {f}\, '(x)&=3x^{2}+6x-9\\ {f}\, ''(x)&=6x+6\\ \textrm{Proses}\: &\textrm{mencari beloknya}\\ {f}\, ''(x)&=0\\ 6x+6&=0\\ 6x&=-6\\ x&=-1\\ & \end{aligned}}\\\hline \textrm{Interval}&f(x)&{f}\, '(x)&{f}\, ''(x)&\: \: \qquad \textrm{Keterangan}&\textrm{Koordinat titik beloknya}\\\hline x< -1&&&-&\textrm{grafik cekung ke bawah}&\\\cline{1-5} x= -1&16&-12&0&\textrm{grafik memiliki titik belok}&(-1,16)\\\cline{1-5} x > -1&&&+&\textrm{grafik cekung ke atas}&\\\hline \end{array}.
Demikian pembahasan tentang materi turuan lanjutan ,semoga bermanfaat.
ketemu di materi selanjutnya ya...
di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)