Aljabar Linier ~Basis dan Dimensi

Assalamualaikum Wr. Wb.


halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang basis dan dimensi, semoga bermanfaat yaa.....

RUANG –N EUCLIDES

Ruang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x1,x2,…,xn). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rn.

Definisi. Misalkan u=[u1,u2,…,un]; v=[v1,v 2,…,vn] vektor di Rn.

§ u = v jika hanya jika u1 = v1, u2 = v2,…, un = vn

§ u + v = [u1 + v1, u2 + v2,…, un + vn ]

§ ku = [ku1, ku2,…, kun]

§ u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

§ |u| = (u•u)1/2 = 

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

   
(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u 

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

(1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2) u+v = v+u 

(3) u+(v+w) = (u+v)+w

(4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5) Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7) k(u+v) = ku + kv

(8) (k + l)u = ku + lu

(9) k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u 

Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                     x = k1u1+ k2u2 +… + knun

dimana k1, k2,…,kn adalah skalar

Contoh :

Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v.

Jawab

Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v

       [8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]         => x = 3u + 2v

Dari kesamaan vektor diperoleh

2k1 + k2 = 8

-k1 + 2k2 = 1    

3k1 – 2k2 = 5

==> ==> ==>k1 = 3 k2 = 2

Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V 

Contoh :

Apakah, u=[1,2,-1], v=[-2,3,3], w=[1,1,2] membangun R3.

Jawab

Andaikan x=[x1,x2,x3] vektor di R3. Bentuk kombinasi linier,

            x = k1u + k2v + k3w

[x1,x2,x3] = k1[1,2,-1] + k2[-2,3,3] + k3[1,1,2]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier,

k1 – 2k2 + k3 = x1

2k1 + 3k2 + k3 = x2

–k1 + 3k2 + 2k3 = x3 

==> ==> u, v, w membangun R3.

Kebebasan Linier

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

  

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, u1=[2,-1,3], u2=[1,2,-6], u3=[10,5,-15] adalah vektor tak bebas linier, karena 3u1 + 4u2 = u3 

Contoh :

Himpunan vektor, S = {u1,u2,u3}, dimana u1=[1,-1,2], u2=[-2,3,1], u3=[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, ekuivalen,

 

k1 – 2k2 + 2k3 = 0

–k1 + 3k2 + k3 = 0

2k1 + k2 + 3k3 = 0 

==> ==> u1, u2, u3 bebas linier 

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

§ S bebas linier

§ S membangun V 

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

 

Contoh :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R3. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R3 berdimensi tiga.

Contoh

Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] dan u3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :

k1u1 + k2u2 + k3u3 = x

k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier

 

k1 + 2k2 + k3 = x1

2k1 + k2 + 3k3 = x2

2k1 + 2k2 + 3k3 = x3

==> ==>  

Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R3.

 

Ruang Hasil Kali Dalam

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

§ [u,v] = [v,u]    (aksioma simetri)

§ [u+v,w] = [u,w] + [v,w]    (aksioma penambahan)

§ [ku,v] = k[u,v]    (aksioma kehomogenan)

§ [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0   (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka :

                  [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R3, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

Catatan :

§Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

                x = [x,u1]u1  + [x,u2]u2 +  … + [x,un]un  

§Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

            v = [v,u1]u1  + [v,u2]u2 +  … + [v,un]un   

Proses Gram-Schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah :

Langkah 1. Ambil, v1 = u1/|u1|

Langkah 2. Hitung, v2 , dengan rumus :

 

  Langkah 3. Hitung, v3 , dengan rumus

 

Langkah 4. Hitung, vk , dengan rumus :

  Contoh :

Misalkan S={u1,u2,u3} basis untuk R3, dengan u1=[1,0,1], u2=[1,1,-1], dan u3=[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={v1,v2,v3} untuk R3.

Jawab

Langkah 1. Ambil : 

 

Langkah 2. v2 = x2/|x2|, dengan x2 = u2 – [u2,v1]v1

 

[u2,v1]=[1,1,-1]•Jadi, x2 = u2 ,

 

Langkah 3. v3 = x3/|x3|, dengan x3 = u3 – [u3,v1]v1 – [u3,v2]v2

[u3,v1]=[-2,1,2]•dan [u3,v2]=[-2,1,2]•

= [–1,2,1]

jadi,  

Koordinat dan Perubahan Basis

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk kombinasi linier, yakni

                     x = k1u1 + k2u2 + … + knvn

Skalar-skalar k1, k2,…,kn disebut koordinat x relatif terhadap basis S. Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis (x)S  didefinisikan,

                    (x)S =[k1,k2,…,kn]

Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [x]S didefinisikan oleh :

 

B={i,j} maka x = 5i + 6j maka :

   (x)B = (5,6),

 

S={u,v} maka x = 2u + v maka :

    (x)S = (2,1)

 

Contoh :

B={v1,v2,v3} basis untuk R3, dimana v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika (x)B=[2,1,-3] hitunglah x, dan jika x=[2,1,–3] berapa [x]B.

Jawab :

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1v1 + k2v2 + k3v3 = x, atau :

k1[2,1,2] + k2[3,2,2] + k3[1,2,–1 ] = [x1,x2,x3]

 

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

2k1 + 3k2 + k3 = x1

k1 + 2k2 + 2k3 = x2

2k1 + 2k2 – k3 = x3

==> ==> ==>  

Jika, (x)B = [2,1,-3], maka :                        Jika, x = [2,1,-3], maka :

     

 

Perubahan Basis

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis lama ruang vektor V, dan B={v1,v2,…,vn} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [x]S dan [x]B diberikan oleh persamaan : [X]s=P[X]B dan atau

 

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu :

 

Contoh :

S={u1,u2,u3} basis lama dan B={v1,v2,v3} basis baru untuk R3, dimana u1=[1,–1,–1], u2=[–1,2,3], u3=[1,1,2], dan v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]. Jika x=[2,-1,3] berapa [x]B secara tidak langsung.

Jawab

Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk k1u1 + k2u2 + k3u3 = x, atau :

k1[1,–1,–1] + k2[–1,2,3] + k3[1,1,2 ] = [x1,x2,x3]

Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier :

 ==>

 

 

Untuk v1=[2,1,2], v2=[3,2,2], v3=[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P-1, yaitu :

 

==>  

dengan demikian, 

 

 

 

 

sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....





Waalamualaikum Wr.Wb.