kalkulus ~ Fungsi dan Grafik Fungsi

assalamulaikum wr. wb.

halo....kembali lagi dengan saya

sekarang saya akan membahas pelajaran kalkulus tentang Fungsi dan Grafik Fungsi, semoga bermanfaat yaa.....

Fungsi dan grafik fungsi

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan dengan satu nilai f(x) dari himpunan kedua. Himpunan yang pertama selanjutnya disebut dengan daerah asal, Df, dan himpunan yang kedua disebut dengan daerah hasil Rf.

Notasi fungsi

Pada definisi fungsi f dengan aturan y = f(x) dituliskan dengan lambang :

F : Df à Rf, y = f(x) yang berarti fungsi f memetakan x di Df ke Rf = { f(x) | x € Df }. Dalam hal ini, x dinamakan variabel bebas, y merupakan fungsi dari x yang nilainya tergantung dari x dinamakan variabel tak bebas.

Sedangkan untuk menyatakan nilai fungsi y = f(x) di titik x + a, digunakan simbol f(a). ada kalanya untuk menyatakan fungsi digunakan notasi-notasi yang lain, misalnya adalah :

Y + g(x), y = h(x), x = f(t), y = g(t).

Sebagai ilustrasi misalnya diberikan, f(x) = x^2 – 4x, maka :

F(3) = 3^2 – 4(3) = -3

F(-2) = (-2)^2 – 4(-2) = 4

F(a + h)^2 – 4(a + h) = a^2 + 2ah + h^2 – 4a – 4h

Gambar                                                     

misalkan diberikan fungsi, f(x) = x^2 – 4x + 3, dihitung dan sederhanakan, [a] f(4), [b] f(4 + h), [c] f(4 + h) – f(4), [d] [f(4 + h) – f(4)] / h.

penyelesaian :

[a]. f(4) = 4^2 – 4(4) + 3 = 3

[b]. f(4 + h) = (4 + h)^2 – 4(4 + h) + 3 = 16 + 8h + h^2 – 16 – 4h + 3 = h^2 + 4h + 3

[c]. f(4 + h) – f(4) = h^2 + 4h + 3 – 3 = h^2 + 4h

[d]. f(4 +h) – f(4) / h = h^2 +4h / h = h(h + 4) /h = h

JENIS – JENIS FUNGSI

1.   Fungsi Linear

Suatu fungsi  disebut fungsi linear apabila fungsi tersebut ditentukan oleh , dimana ,  dan  bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus fungsi linear termasuk kedalam fungsi aljabar.

>Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

>Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi  syarat dan grafiknya berupa garis lurus

>Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

Grafik fungsi tersebut memiliki Domain dan Range.

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa garis lurus

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki Domain dan Range

1.Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi kuadrat dibentuk oleh persamaan umum  dimana dan  bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat termasuk kedalam fungsi aljabar.

Contoh II.1

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa parabola

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke atas karena mempunyai nilai dengan titik balik minimum = -14

·         Pembuat nol grafik kuadrat ini adalah 0,667 dan 5

·         Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range

Contoh II.2

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa parabola

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke bawah karena mempunyai nilai a

·         Pembuat nol fungsi kuadrat ini adalah -0,42857142 dan -1,5

·         Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range

Fungsi Pecahan :

1.   Fungsi Pecahan

Fungsi pecahan kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi rasional. Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh  dengan  dan  yang bisa merupakan fungsi linear, kuadrat atau bahkan polinom. Dengan syarat . Dan  merupakan bilangan Real ( ). Fungsi pecahan termasuk ke dalam fungsi aljabar.

Contoh 1

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan  dan  merupakan fungsi linear dan

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

·         Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range

Contoh 2

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan  dan  merupakan fungsi kuadrat dan Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range

I. Fungsi Polinon

Suatu fungsi disebut sebagai fungsi polinom bila memenuhi  di mana   Grafik dari setiap polinomial dengan derajat 2 atau lebih adalah non-linear kontinu kurva. Fungsi Polinom termasuk fungsi aljabar.

Contoh .1

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi polinom derajat 3 karena memenuhi bentuk  di mana  bentuknya non-linear kontinu kurva.

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range

1.   Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut. Ciri fungsi trigonometri adalah  yang mengandung perbandingan trigonometri sepert sinus  cosinus , tangent , secan  cosecant , cotangent

Grafik tersebut merupakan grafik perbandingan trigonometri sederhana.

Contoh .1

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

·         Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain {

o    Range

Contoh V.2

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain

o    Range 

• Fungsi Identitas

Suatu fungsi  disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik baik absis maupun ordinatnya sama.

 Fungsi konstan

Contoh VI.1

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu anggota kodomain

·         Grafik di atas merupakan grafik fungsi identitas karena memenuhi syarat dan grafiknya berupa garis lurus dimana titik absis sama dengan titik ordinat

·         Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai Grafik fungsi identitas ini juga dapat didefinisikan dengan pasangan berurut yaitu :

·         Grafik ini juga dapat didefinisikan dengan diagram panah sebagai berikut

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

X                              Y

·         Grafik fungsi tersebut memiliki

o    Domain {

o    Range

Foto soal

OPERASI PADA FUNGSI

JIka ada dua fungsi:  f(x)  dan  g(x) ,  maka berlaku:

1.  (f + g)(x)  =  f(x) + g(x)

2.  (f – g)(x)  =  f(x) – g(x)

3.  (f x g)(x)  =  f(x) . g(x)

4. (f/g)(x) = f(x) / g(x)

 5.   fⁿ(x)  =  [ f(x) ]ⁿ

Contoh :

Jika  f(x) = 2x – 3  dan  g(x) = 4 – x  maka tentukan:

a. (f+g)(x)        b. (f – g)(x)      c. (f x g)(x)      d.(f/g)(5)         e. f²(-1)

Jawab:

a.  (f + g)(x)  =  2x – 3   +   4 – x  =   x + 1

b.  (f – g)(x)  =  2x – 3  –  (4 – x)  =   3x – 7

c.  (f x g)(x)  =  (2x – 3) x (4 – x)  = –2x² + 11x – 12

d.gambar

e.  (f)²(x)  =  (2x – 3)² =  4x² – 12x + 9    ®  (f)²(-1) = 25

Fungsi Komposisi

Insert gambar

(g o f)(x) = g(f(x)) , artinya:  f(x) masuk ke g(x)

Contoh:

Jika  f(x) = 2x – 5  dan  g(x) = 3x + 1

tentukan:    a.  (f o g)(x)          b.  (g o f)(x)          c.  (f o g)(4)

Jawab:

a.  (f o g)(x)  =  f(g(x))  =  2(3x + 1) – 5  =  6x – 3

b.  (g o f)(x)  =  g(f(x))  =  3(2x – 5) + 1  =  6x – 14

c.  (f o g)(4)  =  6 . 4 – 3  =  21

nah, buat latihan silahkan cobakan soal berikut …

A. Tentukan  (f o g)(x)  & (g o f)(1)  jika:

            1.  f(x) = x² – 4  ,    g(x) = x + 3

            2.  f(x) = x² – x – 6  ,    g(x) = x² + 2

B. Tentukan  f(x – 2)  jika:

            1.  f(x) = 3x + 7

            2.  f(x) = x² + x – 12

C. Tentukan f(x)  jika:

            1.  f(x + 3) = 6 – 5x

            2.  f(2x – 7) = 4x – 3

            3.  f(2 – x) = x² – 10

Menentukan  f(x)  atau  g(x)  jika diketahui komposisinya

Contoh:

1.  Jika  (f o g)(x) = 6x – 5  dan  f(x) = 2x + 1  maka  g(x) = ?

Jawab:

Cara 1 :  (f o g)(x)  dan  f(x)  linear ®  misal  g(x) = ax + b

(f o g)(x) = f(g(x))

6x – 5  =  2 (ax + b) + 1  =  2ax + 2b + 1

†  g masuk ke f => 2a = 6  ®  a = 3 , 2b + 1 = –5 ®  b = –3

didapat  g(x) = 3x – 3 , silakan cek  (f o g)(x) = . . . . ?

Cara 2 :  yg diketahui  (f o g)(x)  dan  f(x)

(f o g)(x) = f(g(x))

6x – 5  =  2 g + 1   , 2g = 6x – 6 , g(x) = 3x – 3

2.  Jika  (f o g)(x) = 6x – 5  dan   g(x) = 2x + 1  maka  f(x) = ?

Jawab:

Cara 1 :   (f o g)(x)  &  g(x)  linear  ®  misal  f(x) = ax + b

(f o g)(x) = f(g(x)) maka  6x – 5  =  a(2x + 1) + b  =  2ax + a + b

2a = 6  ®  a = 3          , a + b = –5   ®  b = –8

didapat  f(x) = 3x – 8 , cek  (f o g)(x) = . . . . ?

Cara 2 :   yg diketahui (f o g)(x)  dan  g(x)

misal g(x) = 2x + 1 = a maka x = (a-1)/2

f(a) = 6(a-1)/2 -5

f(x) = 3x – 8

buat latihan cobain nih !!!

1.  Tentukan  f(x)  jika:

            a.  (f o g)(x) = 4x + 7 ,  g(x) = 2x

            b.  (f o g)(x) = x² + 3x – 6 , g(x) = x + 1

            c.  (f o g)(x) = x² + 3x – 18 ; g(x) = 2 / (x+1)

            d.  (f o g)(x – 2) = x² + x – 12 ,  g(x) = x + 3

2.  Tentukan  f(x)  jika:

a.  (g o f)(x) = 4x + 7 , g(x) = 2x

b.  (g o f)(x) = x² + 3x – 6 ,  g(x) = x + 1

c.  (g o f)(x) = x² + 3x – 18 ; g(x) = 2 / (x+1)

d.  (g o f)(x – 2) = x² + x – 12 ,  g(x) = x + 3

Demikianlah pembahasan tentang fungsi dan grafik fungsi secara lengkap dandilengkapi dengan contohnya masing-masing. Semoga dapat membantu kalian ya…

Ketemu di blog selanjutnya...see you