Ardillah Sufi

Rabu, 03 Oktober 2018

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode crout dan doolittle

Assalamualaikum Wr. Wb.

halo semuanya...kemarin saya udah membahas metode laplace, dan chio. Sekarang saya mau bahas tetang determinan matriks dengan metode crout dan doolittle ni..semoga bermanfaat bagi kalian yaaa

adapun rumus - rumus dari metode crout :

*ini adalah rumus metode crout 3x3

Hasil gambar untuk metode doolittle

adapun juga contohnya yang 3x3, ya itu adalah sebagai berikut :
Hasil gambar untuk determinan matriks dengan metode crout 3x3

*ini adalah rumus metode crout 4x4

Gambar terkait

adapun contohnya yang 4x4, ya itu adalah sebagai berikut :
Gambar terkait

adapun rumus dari metode doolittle :

*ini adalah rumus metode doolittle 3x3
Gambar terkait

*ini adalah rumus metode doolittle 4x4

Hasil gambar untuk metode doolittle

nah...yang tadi di atas itu adalah rumus-rumus dan contoh soal dari metode crout dan doolittle teman, Semoga aja kalian tidak bingung dengan penjelasan di atas ya....jangan lupa buat coba-coba soal lainnya ya biar kalian bisa tambah ngerti dengan metode ini dan lancar dalam mengerjakannya...

semangat yaa.....kalian pasti bisa
sampai disini dulu kita bahas metode crout dan doolittlenya semoga bermanfaat buat kalian ya...sampai bertemu di blog berikutnya .....

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode CHIO

Assalamualaikum Wr. Wb.

disini saya akan berbagi ilmu tentang aljabar dengan metode CHIO. Semoga bisa bermanfaat bagi kalian dan diterima olah orang banyak...

CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks $A$ biasanya dinyatakan oleh $|A|$ atau $det(A)$ . Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo $n \times n$ dengan $n \geq 3$ .
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo $n \times n$ menjadi ordo $(n-1) \times (n-1)$ dan dikalikan dengan elemen $a_{11}$ . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo $2 \times 2$ . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen $a_{11} \neq 0$ . Apabila nilai elemen $a_{11} = 0$ maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh $a_{11} \neq 0$ .

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Contoh 1.

Hitung determinan matriks $A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)$

$= \dfrac{1}{-2} (-154-144)$

$= \dfrac{1}{-2} (-298)$

$= -149$

Contoh 2.

Hitung determinan matriks $B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$

Misal $C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$ , diperoleh

$det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{1} \begin{vmatrix} (1)(-20)-(4)(-10) & (1)(-22)-(-11)(4)\\ (1)(-28)-(-10)(7) & (1)(-27)-(-11)(7) \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} 20 & 22\\ 42 & 50 \end{vmatrix}$

$= (20 \cdot 50-22 \cdot 42$

$= 1000-924$

$= 76$

Jadi,

$det(B) = \dfrac{1}{4} det(C)$

$= \dfrac{1}{4} (76)$

$= 19$

ini adalah contoh soal dari saya :

terimakasih sudah mengikuti dan memahami ilmu ilmu yang ada di blog saya.Semoga bermanfaat ya...see you guys

Rabu, 19 September 2018

ALJABAR LINIER -Matriks dan laplace

Assalamualaikum wr.wb
ini adalah blog pertama saya dan mungkin belum ahli,semoga kedepannya bisa lebih baik dalam memberi ilmu dan wawasan pada para pembaca.
saya disini ingin berbagi ilmu tentang ALJABAR LINIER. semoga bermanfaat ya...

ALJABAR LINIER {ALIN}

Pengertian Aljabar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang [1].
Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

MATRIKS

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.

Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,B, C, D, ..., dan seterusnya.
Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis

$A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a{_{11}} &a_{12} & ...&a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& ... &a_{2n} \\ ...& ...& ...&... \\ a_{m1}& a_{m2}& ...&a_{mn} \end{bmatrix}$

A. Jenis-jenis Matriks

Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:

3. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:

4. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.

5. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:

6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:

7. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

8. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

9. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

10. Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

B. Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

Perkalian dengan skalar

Hasil kali matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

Pengurangan

Selisih dari matriks A dan B ditulis A – B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

C. Perkalian Matriks

Hasil kali matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1×1 yang ditentukan oleh

Catatan :

Jika matriks A berukuran mxp dan matriks B berukuran pxn, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

D. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :

Sifat komutatif terhadap penjumahan : A + B = B + A
Sifat assosiatif terhadap penjumlahan : (A + B) + C = A + ( B + C)
Sifat matriks nol : A + 0 = A
Sifat lawan matriks : A + (-A) = 0
Sifat asoasiatif terhadap perkalian : (AB) C = A (BC)
Sifat distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
Sifat distributif kanan : (A+B) C = AC + BC
Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
Sifat perkalian dengan matriks satuan : AI = IA = A

E. Contoh Soal

SMXLL

laplace

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn).

(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j

(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :

CONTOH :

M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan

CONTOH : Minor

M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan

M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan

DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

Ardillah Sufi

Rabu, 03 Oktober 2018

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode crout dan doolittle

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode CHIO