Ardillah Sufi

Rabu, 10 Oktober 2018

Aljabar Linier - Invers Matriks {Adjoint,operasi baris elementer, perkalian invers matriks elementer, partisi matriks}

Assalamualaikum Wr. Wb.

halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang invers matriks, semoga bermanfaat yaa.....

Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = $+\begin{bmatrix}+2+&+1\\+3+&+2+\end{bmatrix}$ dan B = $+\begin{bmatrix}+2+&+-1\\+-3+&+2+\end{bmatrix}$

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B = $+\begin{bmatrix}+2+&+1\\+3+&+2+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}+2+&+-1\\+-3+&+2+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}+1+&+0\\+0+&+1+\end{bmatrix}=I$

B × A = $+\begin{bmatrix}+2+&+-1\\+-3+&+2+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}+2+&+1\\+3+&+2+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}+1+&+0\\+0+&+1+\end{bmatrix}=I$

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = $+\begin{bmatrix}+a+&+b\\+c+&+d+\end{bmatrix}$ , dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = $+\begin{bmatrix}+a+&+b\\+c+&+d+\end{bmatrix}$ dan matriks B = $+\begin{bmatrix}+p+&+q\\+r+&+s+\end{bmatrix}$ sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

$+\begin{bmatrix}+a+&+b\\+c+&+d+\end{bmatrix}\begin{bmatrix}+p+&+q\\+r+&+s+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}+1+&+0\\+0+&+1+\end{bmatrix}$
$+\begin{bmatrix}+ap+br+&+aq+bs\\+cp+dr+&+cq+ds+\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}+1+&+0\\+0+&+1+\end{bmatrix}$

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

$+p=\frac{d}{ad-bc},\:+r=\frac{-c}{ad-bc},\:+q=\frac{-b}{ad-bc},\:+dan\:+s=\frac{a}{ad-bc}$

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = $+\begin{bmatrix}+1+&+0\\+0+&+1+\end{bmatrix}$ = I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = $+\begin{bmatrix}+a+&+b\\+c+&+d+\end{bmatrix}$ maka inversnya adalah :

$+A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}+d+&+-b\\+-c+&+a+\end{bmatrix}$

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18 :

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A = $+\begin{bmatrix}+4+&+1\\+7+&+2+\end{bmatrix}$

b. B = $+\begin{bmatrix}+3+&+-2\\+5+&+-4+\end{bmatrix}$

Jawaban:

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

$+A^{-1}=\frac{1}{det\:+A}adj\left+(+A+\right+)$

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = $+\begin{bmatrix}+1+&+2&1\\+2+&+3&4\\+1+&+2&3+\end{bmatrix}$ . Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A = $+det\:+A=1\begin{vmatrix}+3+&+4\\+2+&+3+\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}+2+&+4\\+1+&+3+\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}+2+&+3\\+1+&+2+\end{vmatrix}$

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) = $+\begin{bmatrix}+1+&+-4&+5\\+-2+&+2&+-2\\+1+&+0&+-1+\end{bmatrix}$

Jadi, A^–1 dapat dihitung sebagai berikut.

b. Dengan Transformasi Baris Elementer dan perkalian invers Matriks Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

*operasi elementer baris

*perkalian matriks elementer

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = $+\begin{bmatrix}+2+&+1\\+5+&+3+\end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

invers matriks A dengan transformasi baris elementer

Jadi, diperoleh A^–1 = $+\begin{bmatrix}+3+&+-1\\+-5+&+2+\end{bmatrix}$

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

Tentukan invers matriks A = $+\begin{bmatrix}+1+&+1&+0\\+2+&+3&+2\\+2+&+1&+3+\end{bmatrix}$ dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

c.partisi matriks

> partisi matriks adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang lebih kecil dengan memasukkan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.
> partisi matriks digunakan sebagai penyederhana matriks yang ukurannya besar menjadi lebih kecil sehingga mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....

Waalamualaikum Wr.Wb.

Rabu, 03 Oktober 2018

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode crout dan doolittle

Assalamualaikum Wr. Wb.

halo semuanya...kemarin saya udah membahas metode laplace, dan chio. Sekarang saya mau bahas tetang determinan matriks dengan metode crout dan doolittle ni..semoga bermanfaat bagi kalian yaaa

adapun rumus - rumus dari metode crout :

*ini adalah rumus metode crout 3x3

Hasil gambar untuk metode doolittle

adapun juga contohnya yang 3x3, ya itu adalah sebagai berikut :
Hasil gambar untuk determinan matriks dengan metode crout 3x3

*ini adalah rumus metode crout 4x4

Gambar terkait

adapun contohnya yang 4x4, ya itu adalah sebagai berikut :
Gambar terkait

adapun rumus dari metode doolittle :

*ini adalah rumus metode doolittle 3x3
Gambar terkait

*ini adalah rumus metode doolittle 4x4

Hasil gambar untuk metode doolittle

nah...yang tadi di atas itu adalah rumus-rumus dan contoh soal dari metode crout dan doolittle teman, Semoga aja kalian tidak bingung dengan penjelasan di atas ya....jangan lupa buat coba-coba soal lainnya ya biar kalian bisa tambah ngerti dengan metode ini dan lancar dalam mengerjakannya...

semangat yaa.....kalian pasti bisa
sampai disini dulu kita bahas metode crout dan doolittlenya semoga bermanfaat buat kalian ya...sampai bertemu di blog berikutnya .....

Aljabar Linier ~ determinan matriks dengan metode CHIO

Assalamualaikum Wr. Wb.

disini saya akan berbagi ilmu tentang aljabar dengan metode CHIO. Semoga bisa bermanfaat bagi kalian dan diterima olah orang banyak...

CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan semua bilangan real. Determinan matriks $A$ biasanya dinyatakan oleh $|A|$ atau $det(A)$ . Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo $n \times n$ dengan $n \geq 3$ .
Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo $n \times n$ menjadi ordo $(n-1) \times (n-1)$ dan dikalikan dengan elemen $a_{11}$ . Proses kondensasi ini berakhir pada determinan matriks ordo $2 \times 2$ . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen $a_{11} \neq 0$ . Apabila nilai elemen $a_{11} = 0$ maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh $a_{11} \neq 0$ .

Perhatikan untuk matrik dengan ordo $3 \times 3$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo $4 \times 4$ . Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{21} & a_{24} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{31} & a_{34} \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{41} & a_{42} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{41} & a_{43} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{14}\\ a_{41} & a_{44} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Apabila ukuran matriksnya diperluas atau diperumum menjadi $n \times n$ , maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut.

$det(A) = \dfrac{1}{(a_{11})^{n-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{21} & a_{2n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{31} & a_{3n} \end{vmatrix}\\ &&&\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{n1} & a_{n2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{n1} & a_{n3} \end{vmatrix} & \ldots & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n}\\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}\\ \end{vmatrix}$

Contoh 1.

Hitung determinan matriks $A = \begin{bmatrix} -2&1&4\\ 3&-5&2\\ 5&2&1 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(A) = \dfrac{1}{(-2)^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} -2&1\\ 3&-5 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 3&2 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} -2&1\\ 5&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} -2&4\\ 5&1 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} (-5)(-2)-(3)(1) & (-2)(2)-(3)(4)\\ (-2)(2)-(1)(5) & (-2)(1)-(4)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} \begin{vmatrix} 7&-16\\ -9&-22 \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{-2} (7 \cdot -22-(-16) \cdot -9)$

$= \dfrac{1}{-2} (-154-144)$

$= \dfrac{1}{-2} (-298)$

$= -149$

Contoh 2.

Hitung determinan matriks $B = \begin{bmatrix} 2&1&6&7\\ 3&2&4&5\\ 4&4&2&3\\ 5&6&1&4 \end{bmatrix}$ .

Dengan menggunakan metode CHIO, maka didapat

$det(B) = \dfrac{1}{(2)^{4-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 2&1\\ 3&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 3&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 3&5 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 4&4 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 4&2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 4&3 \end{vmatrix}\\ &&\\ \begin{vmatrix} 2&1\\ 5&6 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&6\\ 5&1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2&7\\ 5&4 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{2^2} \begin{vmatrix} (2)(2)-(3)(1) & (2)(4)-(3)(6) & (2)(5)-(3)(7)\\ (2)(4)-(1)(4) & (2)(2)-(4)(6) & (2)(3)-(7)(4)\\ (2)(6)-(1)(5) & (2)(1)-(6)(5) & (2)(4)-(7)(5) \end{vmatrix}$

$= \dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$

Misal $C = \begin{vmatrix} 1&-10&-11 \\ 4&-20&-22\\ 7&-28&-27 \end{vmatrix}$ , diperoleh

$det(C) = \dfrac{1}{1^{3-2}} \begin{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&-10\\ 4&-20 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 4&-22 \end{vmatrix}\\ &\\ \begin{vmatrix} 1&-10\\ 7&-28 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1&-11\\ 7&-27 \end{vmatrix} \end{vmatrix}$