Aljabar Linier ~ Nilai Eigen dan Vektor Eigen

 Assalamualaikum Wr. Wb.

halo....kembali lagi dengan sayaa
disini saya akan membahas kelanjutan dari yang kemaren saya jelaskan di blog" sebelumnya....sekarang saya akan membahas tentang transformasi linier, semoga bermanfaat yaa.....

 

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,

                            Ax = lx

ldisebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

 

yang bersesuaian dengan nilai eigen, l = 3, karena : 

 

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,

                                   Ax = lIx

                         (lI – A)x = 0

 

 

Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :

 

 

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

(1)Bentuk matrik (lI – A)

(2)Hitung determinan, det(lI – A)=0

(3)Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

(4)Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5)Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

 

Contoh

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =

Jawab

Bentuk, lI – A yaitu : (lI – A) =

Persamaan karakteristiknya adalah :

det(lI – A) = l2 – 2l – 8 = 0 

 

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l1 = 4, dan l2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

 

Untuk l = 4, diperoleh SPL

 

Solusi SPL diatas adalah :

 

 

Jadi vektor eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].

Contoh

Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A =

Jawab

Bentuk, lI – A yaitu : (lI – A) =

Persamaan karakteristiknya adalah :

 

det(lI – A) = l3 – 6l2 + 11l – 6 = 0 

Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l1 = 1, l2 = 2, dan l3 = 3

Vektor eigen x dari A diperoleh dari :

(lI – A)x=0

Untuk l = 1, diperoleh SPL

 

Solusi SPL diatas adalah :

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan :

l = 1 adalah x = [1,1,1] ;

l = 2 adalah x = [2,3,3] ;

l = 3 adalah x = [1,3,4]. 

Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p1,p2, ... , pn, 

(3). Bantuklah matrik P = [p1 p2 … pn] dan hitunglah P–1

(4). Hitung, D = P–1AP dengan diagonal utama, l1, l2, … ,ln

contoh  :

     

 

Vektor eigen dan nilai eigennya :

l = 1 adalah x = [1,1,1] ;

l = 2 adalah x = [2,3,3] ;

l = 3 adalah x = [1,3,4].

D = P–1AP =

Contoh

Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

 

 

Jawab

Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :

 

det(lI – A) = 0 ==>

Persamaan karakteristiknya adalah : l3 – 12l2 + 45l – 54 = 0. dan akar-akarnya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

 

Untuk l = 3, SPL-nya

Solusi SPL-nya adalah :

 

Vektor eigen :

 p1 = [–2 ,1,0]

p2 = [–2 ,0,1]

Untuk l = 6, SPL-nya

 

Solusi SPL-nya adalah :

 

Vektor eigen 

p3 = [–1,1,1]

Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :

P = [p1 p2 p3] = ==>

 matriks diagonal,

D = P–1AP =

 

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :

(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,

(2). A matrik simetris,

(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.

Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.

(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,

      dari vektor basis pada langkah (1).

(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]

Contoh

Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana

 

Jawab

Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :

 

det(lI – A) = 0

Persamaan karakteristiknya adalah : l3 – 3l2 – 9l + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = –3.

Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0

 

Untuk l = 3, SPL-nya

Solusi SPL-nya adalah :

 

Vektor eigen

 

x1 = [1,1,0]

x2 = [–2 ,0,1]

Untuk l = 6, SPL-nya

 

Solusi SPL-nya adalah :

 Vektor Eigen

x3 = [1,–1,2]

 Menentukan P = [p1 p2 p3] 

  Menghitung p1

 Menghitung p2

 p2 = v2/|v2|, dengan v2 = x2 – [x2,p1]p1

  [x2,p1] =

  [x2,p1]p1 =

v2 = x2 – [x2,p1]p1 = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1]

 

Menghitung p3

p3 = v3/|v3|, dengan :

v3 = x3 – [x3,p1]p1 – [x3,p2]p2

[x3,p1] =

[x3,p1]p1 = [0,0,0]

[x3,p2] =

[x3,p2]p2 = [0,0,0]

Dengan demikian,

P = [p1 p2 p3]  =

 

Sehingga, v3 = x3 = [1,–1,2]

 

 sekian dari saya, semoga bermanfaat bagi kalian....maaf ya jika ada yang salah.
sampai ketemu di blog" yang lainnya ya .....





Waalamualaikum Wr.Wb.