Assalamualaikum wr.wb
ini adalah blog pertama saya dan mungkin belum ahli,semoga kedepannya bisa lebih baik dalam memberi ilmu dan wawasan pada para pembaca.
saya disini ingin berbagi ilmu tentang ALJABAR LINIER. semoga bermanfaat ya...
ALJABAR LINIER {ALIN}
Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang [1].Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.
MATRIKS
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.Baris pada sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks. Sedangkan Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks.
Susunan bilangan dalam matriks ini diletakkan didalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.Dalam penamaan suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya matriks A,B, C, D, ..., dan seterusnya.
Dalam matriks dikenal dengan istilah ordo. Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n) pada matriks.contoh : Suatu matrik A dengan m baris dan n kolom ditulis
A. Jenis-jenis Matriks
Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.
1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.
2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:
3. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:
4. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.
5. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:
6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:
7. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
8. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
9. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:
10. Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j
B. Operasi pada Matriks
Jika matriks A dan B berukuran sama, maka
- Penjumlahan
Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B
- Perkalian dengan skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A
- Pengurangan
Selisih dari matriks A dan B ditulis A – B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.
C. Perkalian Matriks
Hasil kali matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1×1 yang ditentukan oleh
Catatan :
- Jika matriks A berukuran mxp dan matriks B berukuran pxn, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
- Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan
contoh :
D. Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks
Jika matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :
- Sifat komutatif terhadap penjumahan : A + B = B + A
- Sifat assosiatif terhadap penjumlahan : (A + B) + C = A + ( B + C)
- Sifat matriks nol : A + 0 = A
- Sifat lawan matriks : A + (-A) = 0
- Sifat asoasiatif terhadap perkalian : (AB) C = A (BC)
- Sifat distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
- Sifat distributif kanan : (A+B) C = AC + BC
- Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
- Sifat perkalian dengan matriks satuan : AI = IA = A
E. Contoh Soal
laplace
Andaikan,
A=[aij]
(nxn) adalah matrik bujur sangkar
berordo
(nxn).
(1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh
dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j
(2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai :
CONTOH :
M21
baris ke-2
dan kolom ke-1
dihilangkan
CONTOH : Minor
M23
determinan
matrik berordo
(3x3) baris ke-2
dan kolom ke-3
dari matrik A dihilangkan
M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan
DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan,
A=[aij]
(nxn) adalah matrik bujur sangkar
berordo
(nxn), dan Cij
= (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.
